皮尔逊相关系数在多元正态分布下的估计

在多元正态分布中，我们可以利用样本数据对总体皮尔逊相关系数进行估计。一种常用的方法是极大似然估计，其表达式为：

$$

\hat{\rho}{X,Y} = \frac{\sum{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2}}

$$

其中：

• $\hat{\rho}{X,Y}$ 表示总体相关系数 $\rho{X,Y}$ 的极大似然估计值。
• $X_i$ 和 $Y_i$ 分别表示第 $i$ 个样本的 $X$ 和 $Y$ 的取值。
• $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 分别表示样本均值。
• $n$ 表示样本容量。