Matrix cookbook

Contents 1 Basics 5 1.1 Trace and Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 The Special Case 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Derivatives 7 2.1 Derivatives of a Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Derivatives of an Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Derivatives of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Derivatives of Matrices, Vectors and Scalar Forms . . . . . . . . 9 2.5 Derivatives of Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6 Derivatives of vector norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.7 Derivatives of matrix norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.8 Derivatives of Structured Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Inverses 16 3.1 Basic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Exact Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Implication on Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.5 Generalized Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 Pseudo Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Complex Matrices 23 4.1 Complex Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Higher order and non-linear derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3 Inverse of complex sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Solutions and Decompositions 27 5.1 Solutions to linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.3 Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.4 Triangular Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.5 LU decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.6 LDM decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.7 LDL decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6 Statistics and Probability 33 6.1 Definition of Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.2 Expectation of Linear Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.3 Weighted Scalar Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7 Multivariate Distributions 36 7.1 Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.2 Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.3 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.4 Normal-Inverse Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.5 Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.6 Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.7 Student’s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.8 Wishart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.9 Wishart, Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8 Gaussians 39 8.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8.3 Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.4 Mixture of Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9 Special Matrices 45 9.1 Block matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 9.2 Discrete Fourier Transform Matrix, The . . . . . . . . . . . . . . 46 9.3 Hermitian Matrices and skew-Hermitian . . . . . . . . . . . . . . 47 9.4 Idempotent Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 9.5 Orthogonal matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 9.6 Positive Definite and Semi-definite Matrices . . . . . . . . . . . . 50 9.7 Singleentry Matrix, The . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 9.8 Symmetric, Skew-symmetric/Antisymmetric . . . . . . . . . . . . 53 9.9 Toeplitz Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.10 Transition matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.11 Units, Permutation and Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9.12 Vandermonde Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10 Functions and Operators 58 10.1 Functions and Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10.2 Kronecker and Vec Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.3 Vector Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 10.4 Matrix Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 10.5 Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 10.6 Integral Involving Dirac Delta Functions . . . . . . . . . . . . . . 62 10.7 Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 A One-dimensional Results 64 A.1 Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 A.2 One Dimensional Mixture of Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . 65 B Proofs and Details 67 B.1 Misc Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67