双周期的亚纯函数。它最初是从求椭圆弧长时引导出来的，所以称为椭圆函数。椭圆函数论可以说是复变函数论在19世纪发展中最光辉的成就之一。任何讨论椭圆函数的历史发展必先详尽地考察18世纪的椭圆积分这个结果来自18世纪数学家们的努力是为了表达椭圆和双曲线的弧长椭圆和双曲线可求长的问题引起了18世纪一流数学家的注意力18世纪关注并对椭圆积分做出贡献的数学家有约翰伯努利，法尼亚诺，兰登，拉格朗日，最突出的贡献是欧拉的椭圆积分的加法定理和兰登变换但总的说来这些成就还是比较分散零星，直到18世纪后半期和19世纪数学史上从勒让德对椭圆积分的全面论述开始勒让德的著作椭圆函数论给数学史家留下深刻印象其中出现了人们熟知的三种椭圆积分的勒让德正规形式