我们认为，由平面分区跨越的丁-伊奥拉拉-米奇（DIM）代数的MacMahon表示与3d场论的希尔伯特空间密切相关。使用仿射矩阵模型，我们提出了与DIM代数相关的Bethe方程的推广，其解决方案也用平面分区标记。在一定的范围内，我们将Bethe系统的本征态确定为新的三重Macdonald多项式，这取决于无限数量的时间变量族。我们将这些结果解释为可集成3d场论存在的第一个提示，其中DIM代数在2dWZNW模型中起仿射代数的作用。