《模糊数学》.pdf

在结构上的不确定性.其体地说,设X是论减,那么有关x的自然 语一般说来是不硝定的,即概念的构成余件是不萌定的.例如: X是人类年龄的集合,自然可以设X=0,200。那么年径、t 年、老年等概念均不能构成普通的集合.因此,这些话言都不能 以二值逻辑去论蓮,响是以一种新的逻籍米进行思缒和推理 现仼让我们给沮模糊集的数学描泷 令X为论或即找们所关心的对象的全你 义].1.1所谓模糊集A,它是集食 A={(PA(),)N} 其中”(“是区闻「0,上中一个确定的数,称为点对A的 隶属 A棪糊集,县体蜿应说是关于论域的模糊集,或称A 是Xi摸糊集。出定义可知,对A,总时存仁一个函数 A():x->0,1,“1xHA() 这个酝数称之为模糊集4属数 由模糊集的定义我们又可以冇下澠几个结论 (1)若以⑧(x)求示X上模糊集的全体;即 (x)={4A是x上的模糊集} 那么P()∈仔〔X),其中x)是X的帑集合。則 P(X)-{A|A是X的普通子集} 这航是说,若模糊集A的隶属数只取0与1两个值时,A蛻 化为一个X的普通子集合,或者说x的普通子集可以看作是X上 一类特殊的模耨集 其次,当A∈P(X)是x的普通子集时,那么A的特征函数的 意义是:当A()=1时,9对A的隶属度为1,从而表明x完 全符合确定A的条件,而‰A(x)=0,则完全不符合确定A的 任何条件、因而安A,这就意味菁在模糊论中,模糊集A, 其隶属度PA(x)越是接近1,那么x隶属于A的程度就越大;反 之,A(3越是接近0,那么#隶属于A的程度也就越小 最后,我们称好(x)X)中的模糊集为真模糊集 模糊集是以其隶属鹵数来确定的,现在我们就绘出柔属巫数 的种种表示方法。为此我们先给出几个例子 例1.].1令论域x是有限集:即: ={“1;2“3,“4,们} 比方说,ⅹ表示一个学生学牙成绩的评价集.具体化,可以设 1:优秀,:良好,”3:中等。:及格和“5:不及袼,现 在我们给出x上的三个模糊集,它们是A(很好),B(一般)利C (不好)、郎 A:的}→>PA(的1)=0.9y"g}→>("2)=0.7 A(7)=0.4 0.1 A(65)=0 B H(“1)=0.2,:2卜>P:("2)=0 -2(33)=0.8,“卜>4g(4)=0.3 b}>2E:(#5)=0.1 C:1b)2(n)=0,2上>F(2)=02 >P(:s)=0,5w4b>PC(”a)=0.8 5→xPc:(5)=0.6 此例表明在评价某个事物时,模糊集将更能符合客观现实和 人们的主观思维规律 例1.】.2设 ⅹ={1(140)出2(150),“3(160),"4(170) 6(180),(190)}(厘米) 表示人休的身高.那么“高个子”(A).“中等个”(弓) 和“矮个子”(C)斌是X上的三个模糊集. i(高个子)51卜≯PA(1)=0.1,斯↓→FA()=0.2 卜>4△(3)=0,4,加4>PA(华4)=0.6 6卜→>FA(5)=0.7卜→FA()=0.9 (中等个)1卜PB(1)=0,2,2}》PB(xg)=0.4 >B(北3)=0,6,#么→>PB(34)=0.9 5卜→{B(x5)=0.4,“6>:2B(x)=01; C(矮个子)}c(1)=0.7卜→1c(2)=0.9 5卜Bc(3)=0.6,3}>C:(x4)=0,4 fc(5)=0.2,x}→{(x)=0 例1.1设论域是全体实数集,模糊集A是“比1大得 多的数集 由于论城R不是有限集。那么它的隶属函数可直接写成函数 表达式.即 p△( 100 >>1 1十 x-1) 铡114设X=R+(非负笑 数集).我们用A表示“年轻”, 用B表示“年老”,那么A和B显 图1,1--1 然可以表示为x上的两个模糊集。它们的隶属函数可分别是 0≤≤25 A() x-25 25109 02:7≤50 (x)={1+(x5)2 ≤100 5 图 逢 面的四个例子可以分为类,一是论域为限集,另 类则是论城为无限集,下面就按这种分类给甜模糊集的表示 (一)论域是有限集,设论城 x={1, k上的仟一模糊集A,其求属函数是 HA() 此时A可以表示为 尸A(x1)PA2) F,(斯 (;) 4 十 1 这里的符号“∑”不两是数字和,FA(1)/1也不是分数,它 只有符号意义,七只表示点对模糊集A的隶属度是A(x)。} 这样的符号,例1,1.1、1.1.2中模糊集可以表示如下 例1.1.1中的 0.9,0.7,0 4,0·1x0 x12 省去隶属度为0的项,(这样做显然合理)则 9Q.70.40 x28; 北 Q:20.5+0.849.3:9.1 fr ndx 02,0 0.8,0.6 十 W1 W2 55 0.210.50.80,6 的3 例1.1.2 0,1:0.20.40 寓4馬bM 2,0.40.6,0.90.40.1 7 十 2 x T3 论域X为限集时按定义献表不是 〓{(F(灬1)x1)(Pz),x2)·,(PA(芤),"n》 因而如不能发生混精的话,可以直接按向量形式给出,即 A=(A(31,4(%8) 特别妥指出的是分明集也可用这种符号表示。例如:沦域x 本身可以表示为 或直接汜为X= (二)论域x为无限集.此时X上的一个模糊集A将表示为 (x) 同样其中的“”不再是积分,它只有无穷逻辑和的意义,而 A()/的意义和有限情况是一致的。月这个表示法,例11.3 中的A可以表示为 0 1十 x-1 100 1十 1 例1.1.4中的A和B可以装示为 G_25 1+( A DE+L 2 多一50}2 1- B 十 10 个论域上的模糊集的隶属丽数是千差万别的,下面我们将 给出的是笑数集上的很有用的又常见的三类隶属囪数 (一)小型(戒上型) 1+〔a(s-c)]b]1 f(s) 当#≤C f() X 胄!1.1-3(a) 图1.1-3〔b 其中C∈K是任一点,0,b>是两个参数,如图1.1-3(孔)显然 例1.1.4中的A为此类模糊集 (二)大型(戒下型〕 f(s) 1+[a(x-c)〕b1≥C 其中Q∈X是任一点,>0,砂>0是两个参数,显然(二)型和 〔一)型是对偶的。其意义也是一了然的,如图1.1—3(b) 例1,1,4中的模糊集B就是这类模糊集 三)屮间型(对称型或正态型) f()=日 共十c∈x是任一值,>0 是参数.这是一类描逃近 似程度的模糊集.例知: 模糊集A是“充分接汪c f(红 的数集”,那么这个A的菜 属函数可以定为中闺型 图1.1-3(c) 结東本雪之莎, 指出,我们从以上的谂可见,对一个模潮集来说最关键问题是 隶属凼数的确定。这是模糊集沦中最根本的问题,也是模糊集论 至今尚未解决的问题.昌前人们解决此问题的方法均是按个经 验荙行处理,为解决这一问题,北京师范大学汪培庄教授提出了 “落影理诊”,他在这方面向前迈进了一大步.当然全面解决这 一木性问题还有待人们的更娘的努力。要了解有关结果可 看汪培庄教授的书“模糊数学讲义” §1.2模翙集的运算 既然模糊集足分明集的推广,那么分明集的一些性质也可以 应地被扩展到模糊集中,现在我们将给岀模糊集之间的运算 这些运算自然要求是分明集相应运算的推广,由亍模糊集中没有 点和集之间的绝对属于关系,因而其运算的定义只能以隶属数 之间关系来确定 定义1.2.1设A.B((X) 包含:A=B4)≤m( ∈X 10