课后答案网(htp:/www.khdaw.con) 5对三个任意给定的事件A、B、C (1)试化简(AB)(BC) (2)试将AB∪C表成互斥事件之和。 (3)化简(4+B(+B)(4+B)(4+B); (4化简AB+AB+团B+团B-AB 解:(1(B)(BO=[我BO[O[ABA[BBC] =AbAC∪B=B∪C, (2)扎B∪C=(4-1B)+(B-BC+(C-AO+ABC(用文氏图) 3)(A+b)(4+B)(4+b)(4+B)=(4+BB)(4+BB)=A4=① (4)AB+AB+AB+AB-AB=(4+AB+(A+4)B-AB B+B-AB=①4B=AB 补充(3)(4) 6指出下列各题是否正确(提示:可借助文氏图) (1)AB=B∪B (2)AB=小∪B (3)A∪BC=ABC (4)B(AB)=Φ; 若AcB,则A=AB; (6)若AB=①,CcA,则BC=①; (7)若AcB,则BcA; (8)若BcA,则A∪B=B (9)若4+C=b+C;则4=b(10)4-C=B-C;则A=B 解:(1团B∪B=(B)∩(B∪的=AB正确; (2)AB=B-A≠AB错误; (3)小BC=(小B)(C)=AB∩C≠ABC错误; (4)AB(B)=BB=中=中正确 (5)若AcB,AB=1正确 若 AB=①,C A,则BCCAB= 正确; (7)AcB,BcA正确 (8)若BcA则扎B=A≠B错误. (9若4+C=B+C,州以不等于B。当4C,BcC时,≠B等式也成立。错误 (10)若A-C=B-C,可以不等于B。当CAC6时,A≠B等式也成立。错误 补充(9)(10) 课后答案网(htp:/www.khdaw.con) 7对投掷一对均匀骰子的试验,可给出两个样木空间g2和21如下:Ω是由第一颗 骰子与第二颗骰子出现点数的对子组成,有 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(15)(1,6) (2,)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3.6) (41)(4,2)(43)(44)(4,5)(4,6) (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6 (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) 而g由两颗骰子出现点数之和组成,有 2={2,3,4,5,6,78,9,10,1212 在求出现“点数之利等于7的概率时,依)计算的=6=1:依2计算得 366 试分别解释得此结果的依据,哪一个结果正确?怎样理解这一正铕结 果? 解:这两个结果都是依古典概率公式算得,因为骰子是均匀的,故每次投掷出 现哪一个点数均应是等可能的,所以有理由认为对样本空问Ω,其样本点是 具等可能性的,据此用古典概率公式算出的结果p=36 6是正确的,因为中 有6个样本点使点数之和等于7,而Ω中共有36个样本点。这个概率的意义是 说明在作大量次数投掷一对均匀骰子的试验时,约有那么多次会碰上点数 之和为7的结果。依92计算得n=1 同样也用了古典概率公式,Ω2中共有11 个样本点,而点数之和等于7只是1个样本点,所以得刀=,但是,对91而言 其样本点的等可能性明显是不成立的。 8.假设发现了一颗不均匀的骰子,由于它,使得在进行掷一对骰子的试验时,在 上题的样木空间Ω中出现偶数和(如()(1,3)……)的次数比奇数和(如(2,1) (2,3)…)的次数多一倍,求下列事件的概率: (1)点数和小于6; (2)点数和等于8 (3)点数和是偶数 课后答案网(htp:/www.khdaw.con) 解:(1在本题中,由于样本空间Ω中出现偶数和的次数比奇数和的次数多 倍,因此样本空间g中共有36+18=54个样本点;而点数和小于6这事件分 为点数和出现偶数并小于6和点数和出现奇数并小于6这两个事件,点数和 出现偶数并小于6的事件包含{(11,、1,3),(2,2,(3,),(1,1,、(,3),(2,2,(3,)共8个样 本点,而点数薮和出现奇数并小于6的事件包拈{(1,2),(1,4),(2,1),(2,3,、(3,2),(4,1)} 共6个样本点,因此点数和小于6这一事件包括8+6-14个样本点,所以得到 (2)样本空间中的样本数同(1),包括54个样本点;而点数和等于8这 事件包括(2,6),(3,5)(44),(5,3),(6,2)、(2,6),(35,、(44),(5,3),(6,2)}共10个样本点, 所以得到 54 (3)样本空间中的样本数同(1),包括54个样本点;而点数和是偶数这 36 事件包括18×2=36个样本点,所以得到P=54 相同的符号不能表示不同的样本点 解:(1)在本题中,由于样本空间g中出现偶数和的次数比奇数和的次数多 倍,因此可设样本空间Ω为中共有36+18=54个样本点,其中偶数和的点算 两个点,如(1,1)(1,3)和(1,)、(1,3)等等,这样可以看成每个样本点发生的可能 性相等,从而可用古典概型计算。 点数和小丁6这一事件 包含{(1,1,、(,3),(2,2,、(3,1),(1,1),(1,3),(2,2)’(3,1)(1,2,(1,4),(2,1).(2,3),(3,2)(4,1)} 共14个样本点,所以得到 (2)样本空间中的样本数同(1),包括54个样本点:而点数和等丁8这一 事件包括(2,6),(2,6),(3,5),(3.5)4,4),(4,4)(5,3,(5,3)6,2),(6,2)}共10个样本点, 所以得到 (3)样本空间中的样本数同(),包括54个样本点;而点数和是偶数这 36 事包括18×2=36个样本点,所以得到p 课后答案网(htp:/www.khdaw.con) 9某人忘记了一个电话号码的最后一位数字,因此只能试着随意地拨这位数,试 求他拨号不超过三次就能接通电话的概夲是多少?若记得最后一位是奇数 则此概率又是多少? 解:随意拨电话号码的最后一个数字,其样本空间Ω共有10个样本点,而他拨号不 超过三次这一事件包括3个样本点,所以p-=0.3:;若记得最后一位是奇数, 则样本空间g共有5个样本点,同样他拨号不超过三次这事件还是包括3个样本 点,所3=06 10房间中有4人,试问没有2个人的生日在同一个月份的概率是多少? 解:样木空间Ω共有124个样木点,而没有2个人的生囗在同月份这事件包括 A个样本点,因此n 124 l1从12、3、45这五个数字中等可能地,有放回地接连抽取三个数字,试求下列事 件的概率: A={三个数字全不相同}, B={三个数字中不含1及5}, C={三个数字中5出现了两次} 解:样本空间Q共有5个样本点:事件力包含君个样本点,因此=E 0.48 事件B中包含3个样本点,因此2=3=0216:事件C中包含CC=12个样本点, 因此/=C 0.096 事件(C中包含C×1×1×C-12个样本点, 因此n=12 0.096 12将十本不同的书放置到一级空书架上去,求其中指定的某三本书恰好放在 起的概率 解:样本空间Ω共有A10=10!个样本点,而其中指定的某三本数恰好放在一起这 事件包括A=38个样本点,因此AA 课后答案网(htp:/www.khdaw.con) 13将3个球放置到4个盒子中去,求下列事件的概率: (1)A是没有一个盒子甲有2个球: (2)B是3个球全在一个盒子内。 解:将球与盒子均作编号后处理,即球与盒子都是可辨别的,则样本空问Ω共有 43个样本点 (1)事件包含个样木点,因此14 (2)事件P包含C4=4个样本点,因此p24 14教室内10个人分别佩戴着编号从1号到10号的校徽,现从中任选3人并记录其校徽 的号码,试求下列事件的概率 (1)最小号码是5 (2)最大号码是5 解:教室内10个人分别佩戴着编号从1号刭10号的校徽,即人与校徽都是可辨别的, 则样本空间2共有C0个样本点 (1)最小号码是5这一事件包含C个样本点,因为除了最小号码是5外,其余2个 号码是从{6,7,810中抽取,故为C?,因此1=; (2)最大号码是5这一事件包含C个样本点,因为除了最大号码是5外,其余2个 号码是从{2,3,4中抽取,故为C4,因此2=3 15盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,现从中有放回地抽取二次(每次取出 只),求下列事件的概率: (1)是两次抽到的都是次品; (2)B是次抽到正品,另次抽到次品 解:灯泡是有放回抽取的,因此样本空间9共有62个样本点 (1)事件中包含2个样本点,因此、22 (2)事件BP包含CCC2-16个样本点,因164 16将上题改为无放回抽取两次后(相当于一次抽取,取出2个),再计算这些事 件的概率。 课后答案网(htp:/www.khdaw.con) 解:灯泡是无放回抽取的,因此样本空间9共有C个样本点 ()事件中包含C2-1个样本点,因此n=C15 (2)事件P包含CC2=8个样本点,因此88 17.一公司批发岀售服装,每批100套。公司佔计某顾客商欲购的那批100套服装中 有4套是次品,12套是等级品,其余是优质品,客商在进货时要从中接连抽出2 套作样品检査,如果在样品中发现有次品,或者2套都是等级品,客商就要退 货。试求下列事件的概率 (1)样品中套是优质品,套是次品; (2)样品中套是等级品,套是次品; (3)退货; (4)该批货被接受; (5)样品中有1套优质品。 解:从100套服装中拙取2套,因此样本空间9共有C102=4950个样本点: (1)样本中套是优质品,套是次品这一事件包含CC=356个样本点, 84 33656 因此1=c24950 825 (2)样本中套是等级品,套是次品这一事件包含CC12=48个样本点, 因此 488 4950825 (3)退货,即包括样本中2套是等级品,或者有次品这一事件包含 +C+C:C1+C=456个样本点,因此久=4950=825 456 76 (4)该批货被接受,是退货的对立事件,因此4=12 749 825 (5)样本中套是优质品这一事件包含CC+C2C4=1344个样本点, 因此D.=C2c4+C2C 1344224 4950825 18.在桥牌比赛中,将52张牌任意地分给东、南、西、北四家,求在北家的13张 牌中 (1)恰有5张黑桃、4张红心、3张方块1张草花的概率; (2)恰有大牌4K、、,咯张,而其余皆为小牌的概率。 课后答案网(htp:/www.khdaw.con) 解:北家的13张牌是从52张牌中任意抽取,因此样本空间g中包含C个样本点 (1)恰有5张黑桃、4张红心、张方块、张草花这·事件包括C13C1C13C13个样本 点,因此 13 52 (2)恰有人牌K、Q,烙l张,而其余皆为小牌的概率这一事件包括 C4CCC4C36个样本点,因此2 19甲、乙两人相约9点到10点间在某地点会面,约定先到者等候20分钟,过时就可 离去。试求两人能会面的概率 解:以K玢别表示甲、乙二人到达的时刻,于是0≤X≤1,0≤F≤1,即点M落 在下图中的阴影部分。所有的点构成一个正方形,即有无穷多个结果。由于 每人在任一时刻到达都是等可能的,所以落在正方形内各点都是等可能的。 而两人会面的条件是1≤,因此利用几何概型计算几何概率为 阴影部分的面积 2×-×()2 正方形的面积 课后答案网(htp:/www.khdaw.con) 20在观察投掷一对均匀骰子100次之后,一个观察者估计第101次投掷出现点数和 是偶数的概率为0.85。请评说对这一概率应给以相对频率解释(即统计概率) 还是主观概率解释?试说明理由。 解:观察者通过投掷骰子100此,从而佔计第101次投掷出现点数和是偶数的概率 为0.85,这是对只发生一次的过程自信程度,只能作为主观概率解释,不是统 计概率 21某地区的最新生存率统计数据表明,每10万人中有6万人活到了70岁以上,故 而长期在该地区生活的4先生能活到70岁以上的概率是=0.6,对这一概率应 怎样理解?试说明理由 解:这一概率只是反映了对4先生能活到70岁以上的自信程度,这一主观概率值是 依据相对频率数据(生存率统计)作出的 概率论与数理统计第二章习题 1解:BcA则 A=BUCA-B) 而B与A-B互不相容,因此由概率的可加性,有: P(4)=U(-的)]=P(B)+P(A-B) 从而P(AB)=P(A)-P(B)(*) 若Bg团则 P(A-B)=P(A-4B) 显然ABCA利用(*)式,有 P(A-B=P(A-AB)=P(A-P(AB) 2解:(1)P(小∪B)=P(A+P(B)-P(AB)=08 (2)P(B)、P(AB)0.1=0.25 (3)P(B|A)= (AB)0.1 =02 P(A0.5 (4)H()=AB)_P(4-B),PA)-fP(AB) P(D)1-P(B)-1-m(B)-3