包括Yang-Mills，重力，双联标量，非线性sigma模型（NLSM），Dirac-Born-Infeld-Volkov-Akulov和特殊伽利略论（sGal）在内的一系列理论的散射预测构成一类特殊对象 两个引人入胜的特性：它们是通过双复制过程关联的，并且它们可以完全由外壳约束来定义。 我们在这两个属性上进行扩展。 首先，我们表明，NLSM树级振幅是通过将颜色对偶结构以及循环不变性和局部性强加到完全确定的。 然后，我们考虑与常规的软缩放相比，如何使用硬缩放来约束这些理论的预测。 我们通过将熟悉的Britto-Cachazo-Feng-Witten（BCFW）脱壳位移扩展到一个新的单一硬极限