具有（1 + 1）-d各向异性尺度不变性的非相对论场论通常以色散关系E〜kz和动态指数z> 1为特征。这些理论的状态数的渐近增长可以用一个 取决于z的Cardy公式的扩展。 我们证明，如一百年前哈迪和拉曼努詹所提出的，通过将整数的分区计数为第z次幂可以恢复该结果。 这在色散关系的特征能量与圆柱半径和基态能量之间给出了新颖的对偶关系。 对于具有Lifshitz标度的自由玻色子，由于Riemannζ函数的反射特性，该关系被证明是完全满足的。 还分析了与AGT对应关系相关的量子本杰明-奥诺2（BO2）可积系统。 作为全息实现，我们提供了一组特殊的边界条件，通过BO2方程描述了爱因斯坦引力在AdS3上