奥本汉姆数字信号处理书的习题集，对于学习者很有帮助哦(3)当≥%+N一1时,从十1到攵=nHn一{和x({的非零取样有宜叠。因此∑(8/a)若≠P,则M+1r+1y若a=F,则4,设c(n)为一指数序列c(n)一a",对于所有的m又设x(n)和y)表示两个任意序列,试证明[e()x(n)]+[e(ny(n)=e(n[(n)syn)证因为e(n)x()水【t(x)y(n)]一∑[e()x(k)[(n一死)y(n一处Ⅰr(取)y(z-硬所以x()]*[c(n)y(a)]=c(n)[x5.令x(n)、y(m)和(#)表示三个任意序列,试证明(a)离散卷积服从交换律即r(n*y(n)=y(n*x)(b)离救卷积报从转合律即x(n)*[y(m)*(n)1-「t(a)末y()]来出{#)(c)宮散卷积服从加法分配律,即r()* [y()+w(n)1=x(n)*y(n)+r(n)*w(r)证(a)因为xa)*y(n)-∑x()y(n一k)令n一=k,则k’所以(n)*y(n)kyCk)=(a)*x(nxb)应用玩a)的结果,并按照卷积的定义,可以得到x(n)米[y(n)*(n))冰【(n)*y(n)])半y(n一号)]交换求和次序,可以写成x()+yx2)*()-∑[∑x()(-1-)m(心[x(-1米y(n-1)l(1)()[x(n-1)*(n)米x(n)*y()]再应用(a)的结果就可以证明(n)*ly(n)米(n)=x(n)*y(n)]水:()()按照卷积的定义:可以写出[y(n)+(n)y(n一b)十(n一最}∑x(y(n-4)+∑x()n(一)七-吗因此可以得到x(x)冰[yn)+(n)]-x(浮米y)十x(m)米(为6.讨论一个单位取样响应为从(m的时域离散线性非栘变系统如果输人x(n)是期为N的周期序列,即x(n)一x(n4N),证明输出yn)亦是周期N的周期序列证按照卷积的定义,可以得到下面两式(n一∑()x(-死)y(z+N)->h()x(+N一)A(受)x(n一b+N)因为x(n)是周期为N的周期序列所以n-k十N)=x(n-比较上面两式,便可以得到y(n)y(n+ N)即y(n)也是周期N的周期序列7.如果系统输是输入函数乘上一个复营数,则该输人函数称作系统的本征函数(a)证明函数r(n)一z"是线性非彩变系统的一个本征函数,其中x是一个复常数(b)作为一个相反的例子证明x"v(n)不是线件非移变系统的一个本征函数其中z是一个复常数证(a)按照题意,可以写出y(n)∑从)x(m一)=∑(死)2∑(代)上式中x为输人函数,∑()zk为与为无关的复常数,因此函数是线性非移变系统的一个本征区数()因为x(n)=x"(n),所以y(n)-∑()x(n-)二h()n(水一{)n(n)∑填()a-kn(n-)/a(n)上式中之()(n一)/a(n)与有关,不是复常数,因此函数z"()不是线性非移变系统的本征函数8,已知一个线件非移变系統的单位取样响应除区间N0≤≤M1之外皆为零;又已知输人(n)除区间N2≤胜≤N之外皆为零。结果,输出除了某-区N4≤≤N之外皆为零。试以NaN1、Ⅳ2和N3表示N和N解按照题意在区间N≤m≤N5之外单位取样响应A()皆为琴,在区间N2≤n≤N之外输人x(m)为幂,因此在这间N+N2≤界≤N4+N之外,(m一和x()的非琴取样互不重登故輸出皆为零,由于题中给出输出除了区间Ⅳ4≤摆≤N3之外皆为琴,所以N4〓N十MN5-M1+N39.通过直接计算卷积和。确定单位取样啊应为H(n)的线性非移变系绕的阶跃响应知An)为a)=g-(-n),00,则以(一)k(一除区间一∞≤此≤0外曾为零因此I0.讨论一个具有下列有限时宽单位取样响应(n)的系统:A(n)0,N≤#(N加0)证明如果1x(n)≤B,则输出的界值为y(n)≤B∑|(同时请证明r(》可能达到这个界值即寻找一个满足|x(m)≤B的序列*(m)使y(n)对于某些x值有(n)一B∑()证由于题中给出A(n)=0,m<日,N≤n,式巾N>0因此可以把ym)写成∑()x(n一处而y(n)≤∑(处)1x(n一k若|x一b≤B,则翰出的界值ly(n)≤B∑|(为了达到这个界值,我们凑一个序列(-nB,一n)≠0L(-n)=0于是∑(B2因此y(0)-21()B=B∑h(代)11,13节曾定义了系统的因果性根据这个定义证明线性非移变系统中,因果性意咪着n<0时单位取样响应kn)为零,同时证明。如果#<0时系统的单位取样响应为零,则该系统必然是因杲性的证1.3节中关于因果性的定义为:输出变化不会发生在输人交化之前的系统称为因果系统.即对于因果系统若m≤时x1()=x2(m1)则n=[casan]xdn)=c-1)u(n)因此∑(1M(0-0)(2)(0因为k<0时“()为零所以yG)-S(-1yt(-)((-1)(一1〉-如(n∞)1