讲述定积分概念、性质，定积分概念、性质，定积分概念、性质4.1定积分概念定积分的引入一曲边梯形面积的求法定义:A表示由曲线=f(x),直线x=ay0所围的曲边梯形面积图yt=()+++;如+注:此“面积”一定是以x轴为一边的曲边梯形;例如:求曲线y=x2、直线x=0、x=1和y=0所围成的面积?如图所示2y=Xy此问题的难点是图形有一边是曲的,如何求它的面积呢?01研究此问题的基础是已知矩形的面积公式S=长*宽=a*b,那么研究方法是“无限细分,以直代曲”,将曲边图形分划为若干个小矩形,用小矩形面积△S矩近似代替小曲边梯形面积△S曲,△S油≈AS,从而有:S曲≈∑△S:矩i=1如果右边的和式有极限(n→∞),则极限值即为整个曲边梯形的面积,即S=lim>△S曲i矩i=1如图所示:1)将区间[O1]n等分。2其分点分别为:yEX2x0=0,x1=-,x2=一····00 X3XX=1n-1nXX1n2)得n个小条形,每个小条形的宽均为△x;=高则分别取区间右端点x=1,2-,n)的函数值f(x)=()23)相乘为第i个小矩形面积△5矩=Axf(x)=(-74)第个小曲边梯形面积近似AS油≈△S5)曲边梯形面积S曲近似s=S=m=2x)4n n若取n=10S由≈△S1+AS2+…+ASn=∑AS2yEX1n(n+1)(2n+33=11nn6=0.384001X上述邮∑n(n+1)(2n+1)得6容易发现η越大(即区间分得越细)则此面积误差越小,6)直到用极限方法令n→∞,得曲边梯形的精确值:Su,= lim(n+1)(2n+1)矩n-0i=6≈0.333·3V总结:求曲边梯形面积的步骤引例1曲边梯形的面积(演示)引例2—变速直线运动的路程设物体的运动速度1=vt分割区间—取近似值作和—取极限①T t(1)细分区间[,2]=[T1,4t1,t2…U[tn1,T2](2)取近似值△Ssv()A(3)作和S=∑A≈∑v()A(4)取极限S=m∑v)其中=max{△→i=1106n3注意:据定义有如下说明(1)定积分是特殊和式极限它是一个定数;(2)定积分的大小仅与区间[ab和被积函数f(x)有关;(3)规定:bf(x)dx=0,‖f(x)dxf(x)dx