Contents Second Printing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii Special Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii Chapter 1 Things Past . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Some Number Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 . Roots ofUnity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Some Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chapter 2 Groups I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3. Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4. Lagrange’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.5. Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.6. Quotient Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.7. GroupActions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Chapter 3 Commutative Rings I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.2. First Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.3. Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.4. GreatestCommonDivisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.5. Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.6. Euclidean Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.7. Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.8. QuotientRings andFiniteFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 v vi Contents Chapter 4 Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.1. Insolvability of the Quintic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Formulas and Solvability by Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Translation into Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.2. Fundamental Theorem of Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Chapter 5 Groups II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 5.1. Finite Abelian Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 DirectSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Basis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 5.2. The Sylow Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 5.3. The Jordan–H¨older Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 5.4. Projective Unimodular Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 5.5. Presentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 5.6. The Nielsen–Schreier Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Chapter 6 Commutative Rings II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.1. Prime Ideals and Maximal Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.2. UniqueFactorizationDomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 6.3. NoetherianRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 6.4. Applications ofZorn’sLemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 6.5. Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 6.6. Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 Generalized Division Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 Buchberger’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 Chapter 7 Modules and Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 7.1. Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 7.2. Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 7.3. Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 7.4. Free Modules, Projectives, and Injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 7.5. Grothendieck Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 7.6. Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 Chapter 8 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 8.1. Noncommutative Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 8.2. ChainConditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 8.3. SemisimpleRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 8.4. Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 8.5. Characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 8.6. Theorems of Burnside and of Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 Contents vii Chapter 9 Advanced Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 9.1. Modules over PIDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 9.2. Rational Canonical Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 9.3. Jordan Canonical Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 9.4. SmithNormalForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682 9.5. Bilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 9.6. Graded Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 9.7. Division Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 9.8. Exterior Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 9.9. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756 9.10. Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772 Chapter 10 Homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 10.2. Semidirect Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 10.3. General Extensions and Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794 10.4. Homology Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 10.5. Derived Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830 10.6. Ext andTor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852 10.7. Cohomology of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870 10.8. Crossed Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887 10.9. Introduction to Spectral Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893 Chapter 11 Commutative Rings III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 11.1. Local and Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 11.2. Dedekind Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922 Integrality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 Nullstellensatz Redux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 Algebraic Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938 Characterizations of Dedekind Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948 Finitely Generated Modules over Dedekind Rings . . . . . . . . . . . . . 959 11.3. Global Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969 11.4. Regular Local Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 Appendix The Axiom of Choice and Zorn’s Lemma . . . . . . . . A-1 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-1 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1 . Roots ofUnity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Some Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chapter 2 Groups I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3. Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4. Lagrange’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.5. Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.6. Quotient Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.7. GroupActions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Chapter 3 Commutative Rings I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.2. First Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.3. Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.4. GreatestCommonDivisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.5. Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.6. Euclidean Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.7. Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.8. QuotientRings andFiniteFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 v vi Contents Chapter 4 Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.1. Insolvability of the Quintic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Formulas and Solvability by Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Translation into Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.2. Fundamental Theorem of Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Chapter 5 Groups II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 5.1. Finite Abelian Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 DirectSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Basis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 5.2. The Sylow Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 5.3. The Jordan–H¨older Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 5.4. Projective Unimodular Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 5.5. Presentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 5.6. The Nielsen–Schreier Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Chapter 6 Commutative Rings II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.1. Prime Ideals and Maximal Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.2. UniqueFactorizationDomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 6.3. NoetherianRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 6.4. Applications ofZorn’sLemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 6.5. Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 6.6. Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 Generalized Division Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 Buchberger’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 Chapter 7 Modules and Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 7.1. Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 7.2. Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 7.3. Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 7.4. Free Modules, Projectives, and Injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 7.5. Grothendieck Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 7.6. Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 Chapter 8 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 8.1. Noncommutative Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 8.2. ChainConditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 8.3. SemisimpleRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 8.4. Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 8.5. Characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 8.6. Theorems of Burnside and of Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 Contents vii Chapter 9 Advanced Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 9.1. Modules over PIDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 9.2. Rational Canonical Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 9.3. Jordan Canonical Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 9.4. SmithNormalForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682 9.5. Bilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 9.6. Graded Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 9.7. Division Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 9.8. Exterior Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 9.9. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756 9.10. Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772 Chapter 10 Homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 10.2. Semidirect Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 10.3. General Extensions and Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794 10.4. Homology Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 10.5. Derived Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830 10.6. Ext andTor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852 10.7. Cohomology of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870 10.8. Crossed Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887 10.9. Introduction to Spectral Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893 Chapter 11 Commutative Rings III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 11.1. Local and Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 11.2. Dedekind Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922 Integrality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 Nullstellensatz Redux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 Algebraic Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938 Characterizations of Dedekind Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948 Finitely Generated Modules over Dedekind Rings . . . . . . . . . . . . . 959 11.3. Global Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969 11.4. Regular Local Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 Appendix The Axiom of Choice and Zorn’s Lemma . . . . . . . . A-1 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-1 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1