旋转矩阵用九个量描述三自由度的旋转,具有冗余性;欧拉角和旋转向量是紧凑的,但具有奇异性。事实上,我们找不到不带奇异性的三维向量描述方式 [19]。这有点类似于,当我们想用两个坐标表示地球表面时(如经度和纬度),必定存在奇异性(纬度为 ±90 ◦ 时经度无意义)。三维旋转是一个三维流形,想要无奇异性地表达它,用三个量是不够的。 在表达三维空间旋转时,也有一种类似于复数的代数:四元数(Quaternion)。四元数是 Hamilton 找到的一种扩展的复数. 它既是紧凑的,也没有奇异性。 一个四元数 q 拥有一个实部和三个虚部。 其中 i,j,k 为四元数的三个虚部。这三个虚部满足关系式: 由