MATLAB 实现的扩展欧几里得算法详解

在数学上,拓展欧几里得算法(又称扩展欧几里得算法)是计算两个非负整数的最大公约数(greatest common divisor)的同时,能找到贝祖等式(Bézout's identity)的一种算法。该算法可以被扩展为计算 a 和 b 的线性组合 (s,t) 使它等于它们的最大公约数,即 gcd(a,b)=sa+tb。 它在电子电路设计和密码学中有广泛的应用。

MATLAB是一种高度交互式的数值分析和图形化环境,广泛用于科学、工程和工业应用程序的开发。因此,使用MATLAB编写和实现拓展欧几里得算法是非常实用的。

函数样例:

function gcd = euclidean_algorithm_extended(a, b)
% 根据拓展欧几里得算法计算 gcd(a,b) 和它们的线性组合 s, t 
% 
% Input:
% a: 一个整数 
% b: 一个整数 
%
% Output:
% gcd: a  b 的最大公约数 
% s, t: a  b 的线性组合使得 gcd(a,b) = sa + tb 
if (a == 0)
    gcd = b;
    s = 0;
    t = 1;
    return;
end
[gcd, s_prev, t_prev] = euclidean_algorithm_extended(mod(b, a), a);
s = t_prev - floor(b / a) * s_prev;
t = s_prev;
end