问题描述

某商店计划制定未来六个月 (7 月至 12 月) 的商品进货和售货计划，以最大化净收益。已知信息如下：

  • 仓库最大容量：1500 件
  • 初始库存 (6 月底)：300 件
  • 目标期末库存 (12 月底)：不少于 300 件
  • 每月初进货一次
  • 每月库存成本：每件 0.5 元
  • 各月商品买进和售出单价见下表：

| 月份 | 7月 | 8月 | 9月 | 10月 | 11月 | 12月 |

|---|---|---|---|---|---|---|

| 买进 (元/件) | 28 | 26 | 25 | 27 | 24 | 23.5 |

| 售出 (元/件) | 29 | 27 | 26 | 28 | 25 | - |

目标: 确定每月最佳进货量和售货量，使得商店净收益最大。

数学模型

该问题可以转化为一个线性规划问题。

决策变量:

  • $x_t$ : $t$ 月份的进货量， $t = 7, 8, ..., 12$
  • $y_t$ : $t$ 月份的售货量， $t = 7, 8, ..., 12$

目标函数:

最大化净收益，即总收益减去总成本。

$max \ Z = \sum\limits_{t=7}^{12} (29y_7 + 27y_8 + 26y_9 + 28y_{10} + 25y_{11} - 28x_7 - 26x_8 - 25x_9 - 27x_{10} - 24x_{11} -23.5x_{12} - 0.5(300 + \sum\limits_{t=7}^{12} x_t - \sum\limits_{t=7}^{12} y_t))$

约束条件:

  • 仓库容量限制: $300 + \sum\limits_{i=7}^{t} x_i - \sum\limits_{i=7}^{t} y_i \le 1500$， $t = 7, 8, ..., 12$
  • 期末库存限制: $300 + \sum\limits_{i=7}^{12} x_i - \sum\limits_{i=7}^{12} y_i \ge 300$
  • 非负约束: $x_t \ge 0$, $y_t \ge 0$， $t = 7, 8, ..., 12$

软件求解

可以使用线性规划软件包 (如 Lingo, Cplex, Gurobi 等) 求解该模型，得到各月最优进货量和售货量，以及最大净收益。