4.2有限测度这一节似乎已经超出了本章关于求维数的范围，然而定理4.10是4.3节引出的重要的位势理论方法所需要的。具有无穷测度的集合是难于处理的，如果能将它们削减成正有限测度集，应当是非常有用的简化。定理4.10保证了任何满足于Í₈(F) = ∞的(博雷尔)集F包含一个子集E满足。对₈(E) < ∞(即E是S集)。
乍看起来，这似乎是显然的，只要削减F一直到留下的部分具有正的有限测度。遗憾的是，事情并不是那么简单，测度可能从无限测度跳到零测度而不经过任何中间值！用数学语言来叙述它，即可能有递减的集序列E₁ ⊆ E₂ ⊆…，对所有的k满足对₈(Eₖ) = ∞，但却有衍₈(∩Eₖ) = 0。举一个简单的例子，例如取Eₖ = [0, 1/k] ⊆ R且0 < ₈ < 1，就是这样的情形。为了证明这个定理，要更精细地考察豪斯多夫测度的构造。
读者主要关心的是定理的应用，而不是证明。定理4.10设F是满足0 < ₂₈(F) < ∞的Rⁿ的博雷尔子集，存在紧集E ⊆ F使0 < ₂₈(E) < ∞。
证明梗概：完整的证明是非常复杂的，这里只对0 < ₈ < 1和F是[0, 1] ⊆ R上的紧子集的情形说明证明的思想。利用式(2.17)、(2.18)定义的网测度MS来证明，网测度是利用二进制区间[r2⁻ᵏ, (r + 1)2⁻ᵏ)定义的，并由式(2.19)与豪斯多夫测度联系起来。用归纳法定义一个F的递减的紧子集序列E₀ ⊆ E₁ ⊆ E₂ ⊆…，设E₀ = F，对k ≥ 0，利用确定与每个长度为2⁻ᵏ的二进区间的交的方法来定义Eₖ₊₁。
如果M₋ₖ(Eₖ ∩ I) ≥ 2⁻ₖᵏ，就令Eₖ₊₁ ∩ I = Eₖ ∩ I。由于在计算M₋ₖ中，利用I本身作为一个覆盖区间给出的估计，至少与用较短的二进区间时的估计一样大，因此有M₋ₖ₊₁(Eₖ₊₁ ∩ I) = M₋ₖ(Eₖ ∩ I)。(4.9)
另一方面，如果M₋ₖ₊₁(Eₖ ∩ I) < 2⁻ₖᵏ，则存在一个长度小于2⁻ᵏ的二进区间[I, u]，使得Eₖ ∩ I ∩ [0, u]的网测度小于2⁻ₖᵏ的紧子集。这样的子集存在是因为M₋ₖ₊₁(Eₖ ∩ I ∩ [0, u])是有限的，并对μ连续(这就是为什么利用M₋而不是M₈进行证明的原因)，因为M₋ₖ(Eₖ ∩ I) = 2⁻ₖᵏ，式(4.9)仍然成立。把式(4.9)对全部长度为2⁻ᵏ的二进制区间求和，可以得到M₋ₖ₊₁(Eₖ₊₁) = M₋ₖ(Eₖ)。(4.10)
反复应用式(4.10)可以得到对所有的k，M₋ₖ(Eₖ) = M₋₀(E₀)。设E是紧集∩Eₖ，令k → ∞，取极限，即有M₈(E) = M₋₀(E₀)。(这一步的论证当然需要较复杂的分析)
在讨论这些测度的过程中，想了解更多详细信息或案例研究，可以参考以下相关文献：
暂无评论