4.1 基本方法作为一个基本的运算规律，豪斯多夫测度和维数的上界，一般是利用一些小集合的有效覆盖得到；而下界则是通过在集上配置一个测度或质量分布来求得。大多数分形维数的“明显的”上界估计可以由小集合的自然覆盖得到。

设F可以由( n_k )个直径最大为( \delta_k )的集覆盖，且当( k \to \infty )时，( \delta_k \to 0 )，贝尔lJ bmm k τ o n-n n一」 m一切--k / 、 F B h- r 『 F H m AU而且，如果当k →∞时，( n_k \delta_k )保持有界，如( J 1i S (F) < ∞ )；又若当( \delta_k ) → 0时，存在( 0 < c < 1 )，使( \delta_{k+1} \sim c \delta_k )成立，贝尔lJ dimRFζEEJE卫生u-k→∞ ln dk。证明第一个不等式成立由盒维数的定义和式(3.14)即得；而由式(3.17)有dimHF运坐旦BF。如果( n_k \delta_k )有界，则1iðk (F)运( n_k \delta_k )，所以当( k \to \infty )时，对( \delta_k (F) )趋于有限的极限？俨(F).口于是，如前面所述的例2.7三分康托尔集的情形，它有长度为( 3^{-k} )的( 2^k )个区间组成的自然覆盖，这就给出dimHF ~ 卓旦BF ~ dimBF运ln2jln3。使人感到惊奇的是，豪斯多夫维数的“明显”的上界经常就是维数的实际数值，然而要证明这个结论却可能是困难的。为得到一个维数的上界，只要计算集F的一个特殊覆盖{矶}的形式为( L IUil S )的和值即可；而为求维数的下界，却必须证明，对F的所有6覆盖，艺IUil S比某个正常数大。显然，有大量这样的覆盖是有效的。特别，在考虑豪斯多夫维数时与考虑盒维数不同，必须考虑一些覆盖{Ui}。

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