3.4 填充测度与维数

与豪斯多夫维数不同，盒维数或修改的盒维数都不是通过测度定义出来的，这可能会给它们的理论发展带来一些困难。尽管如此，上一节中的思考过程，还是可以用最少的数学且相当优雅的方式完成。豪斯多夫维数是利用最少的小球覆盖来定义的，而定义出旦B则是利用最少的等半径的小球覆盖来定义的（等价定义3.1(1)）。另一方面，画面B可以看成是这样的维数，它依赖于互不相交的半径相等的尽可能稠密的小球的填充（等价定义3.1(5)）。

在数学的很多方面，覆盖和填充起着双重作用。理论上，我们自然努力地去寻找一种由半径不同的互不相交的小球尽可能稠密的填充来定义的维数。让我们尝试用豪斯多夫测度和维数定义的模式去定义一种新的维数。如果 (s \to 0) 且 (0 > 0)，令

[ \phi(F) = \sup \left{ \sum \left|B_i\right| : B_i \text{ 是球心在 } F \text{ 上，半径最大为 } 0，互不相交的球 \right} ]

因为 ( \phi(E) ) 随 ( \delta ) 减少而递减，所以极限

[ \phi(F) = \lim_{\delta \to 0} \phi(F) ]

存在。然而，此处又遇见了在盒维数中发生的问题。对可数稠密集的考虑中就容易看出 (\phi(F)) 不是测度，因此我们需要修改这个定义为：

[ 2\phi(F) = \sum \phi(F_i) : F \subseteq \bigcup F_i ]

如果您对这些数学概念感兴趣，可以查看以下相关资料：

这些资源将为您提供更加详细的解释和示例，帮助您更好地理解测度与维数之间的关系。