NURBS曲线与曲面是计算机图形学和CAD（计算机辅助设计）领域中的核心概念，它们在三维建模、动画和工业设计中扮演着至关重要的角色。NURBS，全称为Non-Uniform Rational B-Splines（非均匀有理B样条），是一种强大的数学工具，用于精确地表示复杂的几何形状。NURBS曲线由一系列控制点定义，这些点并不直接绘制出来，而是通过一种称为权重的因子来影响曲线的形状。曲线通过称为基函数的一组插值函数来构造，这些基函数将控制点与曲线上的点关联起来。非均匀性意味着这些基函数的间隔可以不均匀，使得曲线能够在需要的地方更加平滑或弯曲。在NURBS曲面上，这个概念被扩展到二维，形成一个由控制网格定义的表面。每个控制点都有自己的权重，影响曲面的形状。曲面由两组参数u和v定义，它们是曲面的局部坐标系统，而非笛卡尔坐标（x, y, z）。通过对参数空间内的控制点进行插值，我们可以得到曲面上任意点的位置。
C++源代码实现NURBS曲线和曲面通常涉及以下几个关键步骤：
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控制点和权重矩阵：需要定义控制点的坐标和对应的权重，并存储在适当的数据结构中，如数组或向量。有关人脑的NURBS曲面三维建模研究可以参考此处。
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基函数计算：然后，计算NURBS的基函数，这通常涉及到贝塞尔多项式及其派生的非均匀版本。基函数的计算通常包括选择合适的knot vector（结点向量），它决定了基函数的分布和重叠。对于更深入的理解，建议查看画Nurbs曲线C# .net计算机图形学。
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参数化映射：通过给定的u和v参数，应用基函数来找到曲面上的点，这涉及到对控制点和权重矩阵的线性组合。关于此过程的详细解析，可以参阅计算设计基础数学深入了解NURBS建模。
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曲线/曲面插值：基于控制点和权重，以及输入的参数值，执行插值算法来生成连续的曲线或曲面片段。感兴趣的读者可以参考NURBS建模程序教程。
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可视化：将生成的NURBS曲线和曲面渲染到屏幕上，这可能需要与OpenGL或DirectX等图形库进行交互。NURBS建模工具MOI3D的详细笔记也许会对您有所帮助，可以查看这里。
通过这些步骤，我们能够创建出精确且复杂的三维几何形状。对于那些希望将理论知识应用于实际编程的学习者和开发者来说，这些资源无疑是宝贵的。也许你会发现，NURBS曲线和曲面的实现并不如想象中那么复杂，而是充满了数学之美和编程的乐趣！
想进一步了解更多NURBS曲面的实际应用和具体实现？可以探索3DSMAX Nurbs建模插件POWER_NURBS和其他相关教程。
继续探讨吧，让我们一同进入这个充满无限可能的几何世界！
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