山西大学计算方法实验四
实验报告涉及的是山西大学计算机与信息技术学院的一次数值分析MATLAB实验，实验主要目标是使用雅可比迭代法（Jacobi Iteration）和高斯-塞德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）求解非奇异实矩阵A下的线性方程组Ax=b。这两种迭代方法都是求解大型稀疏线性系统时常用的技术，特别是当直接求解方法如高斯消元法不适用时。
- 雅可比迭代法：雅可比迭代法基于矩阵的对角占优性质（即对角线元素aii不等于零，且其绝对值大于同一行其他元素的绝对值之和）。迭代公式如下：
[
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1, j \neq i}^{n} a_{ij} x_j^{(k)} \right)
]
( x^{(k+1)} )是第( k+1 )步的解向量，( x^{(k)} )是第( k )步的解向量，( a_{ii} )是对应行的对角元素，( a_{ij} )是矩阵A的元素，( b_i )是方程组的常数项。
- 高斯-塞德尔迭代法：高斯-塞德尔迭代法比雅可比法更高效，因为它在每次迭代中都会立即更新已知的分量。迭代公式如下：
[
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j^{(k)} \right)
]
这里的关键区别在于，对于每个i，高斯-塞德尔迭代法使用最新计算出的( x_j^{(k+1)} )（j 实验内容：实验要求求解特定的线性方程组，并确保解的精度满足条件：( ||x^{(k+1)} - x^{(k)}||_2 \leq 0.0001 )，其中( x^{(k+1)} )和( x^{(k)} )分别是连续两次迭代得到的解。初始值设定为常向量b。 实验程序：提供了两个MATLAB函数，分别实现了雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法。这两个函数都包含一个循环结构，用于进行迭代直到满足精度要求或达到最大迭代次数（N=100）。在每次迭代中，通过计算新旧解向量的无穷范数之差来判断是否继续迭代。 实验结果：实验中提供了具体矩阵A和向量b的示例，以及调用这两个函数的MATLAB代码。实验者可以观察并分析这些迭代方法的收敛速度和最终解的精度。通过这个实验，学生可以深入理解迭代法在数值分析中的应用，并掌握如何在MATLAB环境中实现这些方法。这不仅有助于理解理论知识，也有助于提高解决实际问题的能力。 你对数值分析感兴趣吗？想要了解更多关于雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法的MATLAB实现？你可以访问这些相关文件获取详细信息：数值分析求解线性方程组的迭代法的实验报告、数值分析中迭代法MATLAB代码以及数值分析线性方程组的Jacobi迭代法与Gauss Seidel迭代法MATLAB。这些资源将帮助你更好地理解和应用这些迭代法！
