利用翻译算子，我们得到了作用于单项式上的微分算子形式的算术级数和阶伯努利多项式的幂和。 由此得出，施加在幂和上的（d / dn-d / dz）具有含义，并且精确等于相同阶数的伯努利多项式。 从这个新的属性中，我们得到一个公式，该公式给出伯努利多项式的连续导数之和与n阶相同的本原之和的幂和。 然后通过将两个自变量z，n更改为Z = z（z-1），λ，其中λ设计了一阶幂和，并证明对于等于0、1 / 2、1的自变量，奇数次的Bernoulli多项式消失了，我们容易地根据系数决定Z的λ中的多项式轻松地求出幂和的Faulhaber公式。发现这些系数是Z表示的整数上的奇次幂和的导数。通过这种方式，我们得出