本文使用梯形面积的公式并假设直线，证明了欧几里德的第五种假设和直线的收敛性，得出了包含比率的梯形面积的一般公式，我们假设直线决定了所有物体的性质和面积直线图形。 此外，该证明对于几何光学基本上是必不可少的，在证明和分类光束（波）时要假定数学上的光线是一条直线，以数学方式证明存在平行，会聚和发散的光束。