我们继续研究与N = 2杂合真空中BPS饱和振幅相关的一环积分。 我们计算它们的大体积行为，并将其表示为复杂体积中的傅立叶级数，并以Niebur-Poincaré级数的形式在复杂结构模量中给出傅立叶系数。 模导数下Niebur-Poincaré级数的闭合表明，这些积分来自全纯正电势fn，推广了N = 2超重的熟悉的电势。 这些全纯正势以Eichler积分的特征在T对偶下异常变换。 我们使用这一观察结果来计算其在二元性组下的量子一元性。 我们将分析扩展到与Hecke同余子组有关的模块积分，这自然是在不可分解的托里和自由作用圆管的紧缩中自然产生的。 在这种情况下，我们得出新的显式结果，包括涉及Γ0