这份文档详细阐述了邱笑晨博士提出的IMU预积分公式，内容涵盖：

  1. 李群和流形的基础知识，为后续IMU预积分的数学基础做铺垫。
  2. IMU传感器测量模型与运动学模型，阐述了IMU数据的获取方式以及如何用数学模型描述其运动规律。
  3. IMU预积分理论，详细推导了IMU预积分的计算过程，这是VIO系统中的核心算法之一。
  4. 预积分测量值的噪声分析，对IMU预积分过程中产生的误差进行了分析，并给出了相应的处理方法。
  5. 当IMU的bias发生变化时，如何更新预积分测量值，这是VIO系统中需要解决的关键问题之一。
  6. 残差及其雅克比矩阵的推导，这是VIO系统进行非线性优化的基础。

通过学习这份文档，读者可以深入理解IMU预积分的原理和实现方法，为进一步学习VIO系统打下坚实的基础。