16.2 分数布朗运动

尽管布朗运动具有中心理论的重要性，但对于其他多种目的来说，它的局限性是太大了。布朗样本函数图的维数几乎必然等于1，但是，为了模拟各种不同的模型，还需要有相应的函数图具有其他维数的随机函数。布朗运动 (X: [0，∞]→ R) 是高斯过程(Gaussian process)，这意味着对 (0 \leq t1 \leq t2 \leq … \leq tm) 和系数 (\lambda1，…， \lambda m)，随机变量 (\lambda l X(t1) +… + \lambda m X(tm)) 也是正态变量（称 (X(t1)，…， X(tm)) 是多元正态变量(multivariate normal)）。

布朗运动具有平稳的独立增量，且具有有限方差，实际上它是唯一具有这种概率分布的函数。为了得到不同特征的样本函数，需要放宽一个或多于一个的上述条件。通常有两种变化：分数布朗运动的增量是服从正态分布的但不再是相互独立的；而另一方面，Lévy过程取消了要求是正态分布的条件，并由此可以得出不连续的函数。为了简单起见，这里仅讨论这些过程在1维情形下的图，对取值在n维空间的相应过程也可以类似地定义。

指数为 (\alpha(0 < \alpha < 1)) 的分数布朗运动，是定义在某概率空间上的一高斯过程 (X: [0，∞]→ R)，使得(FBM) (i) (X(t)) 以概率1连续，且 (X(0) = 0)，(ii) 对任意 (t \geq 0) 和 (h > 0)，增量 (X(t + h) - X(t)) 正态分布，所以，值为零，方差为 (h^{2 \alpha}) 的 (P(X(t + h) - X(t) = x) = (2\pi)^{-1/2}h^{-\alpha} \exp(-x^2/2h^{2 \alpha})dx)。可以证明，对 (0 < \alpha < 1)，满足(FBM)条件的过程是存在的。图16.3给出了不同α值的分数布朗运动的图。

上面的定义蕴含增量 (X(t + h) - X(t)) 是平稳的，即它们具有不依赖于t的概率分布。然而，除去 (\alpha = 1/2) 的布朗情形，由(FBM)给定的函数的分布不能有独立的增量。由条件(i)和(ii)可知， (E(X(t)^2) = t^{2\alpha})，并且 (E (X(t + h) - X(t)^2) = h^{2\alpha})。由此可以证明： (E(X(t)X(s)) = (t^{2\alpha} + s^{2\alpha} - |t - s|^{2\alpha})/2)。

对于那些想要深入了解高斯过程及其应用的读者，可以参考以下资源：

  1. 随机利率下由Lévy过程驱动的期权定价

  2. 高斯回归过程

  3. 高斯过程介绍

  4. 高斯过程程序

  5. 高斯过程回归

这些链接将带你进入更为详尽的讨论和实现细节，为你提供更广泛的背景和实用的例子。