我们在这里以2×2向量矩阵表示Hurwitz代数的实现，该矩阵保持了经典物理学中使用的向量空间的几何形状与量子理论基础的代数基础之间的对应关系。 我们使用的乘法规则是对M. Zorn最初引入的规则的修改。 我们证明了乘法不是本质上非关联的。 实数和复数的实现是可交换的和缔合的，实四元数保持缔合性，而实八元数矩阵形成替代代数。 扩展任意维度的矩阵的微积分非常简单（使用Hurwitz代数的矩阵元素）。 我们简要讨论了所得结果在量子物理学中标准希尔伯特空间公式的扩展以及经典场论的替代波动机械公式中的应用。