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Google 研究科学家Mathieu Blondel在PSL大学的“机器学习的对偶性”课程材料。主题包括共轭函数,平滑技术,Fenchel对偶性,Fenchel-Young损失和块对偶坐标上升算法。
我们使用量规组U（N）研究N $$ \ mathcal {N} $$ = 2⋆个理论，并使用等变局域性来计算最简单的手性环元素的量子期望值。 这些表示为伴随超多重质量的扩展，系数由S-对偶组的准模数形
我们研究伽利略对偶性的量子方面，特别是在特殊相互作用的伽利略理论的情况下，据说该理论通过同时场和坐标转换的作用对自由理论是双重的。 这似乎是将具有多个真空度的理论映射到具有唯一真空状态的理论。 但是，
我们使用规范串对偶性在纯Yang-Mills理论中对N-夸克势进行建模。 对于SU(3),结果与晶格模拟非常吻合。 该模型在短距离的几乎Δ律和长距离的Y律之间平滑插值。
我们发现，SL（2）Chern-Simons理论中的S-对偶性出现在双曲线3流形的Borel复式中，该半经典展开围绕与双曲线结构相关的特定平面连接展开。 我们用双曲线3型流形的两个代表性示例在数值上进
我们在存在通用曲面算子的情况下，使用等变量，计算了四维N = 2⋆$$ \ mathcal {N} = {2} ^ {\ star} $$ SU（N）规范理论的瞬时分配函数 本土化。 通过分析由S对偶
为了获得对称和不对称的异质双峰构造的统一框架，我们提供了由有限阶T-对偶子群进行双峰的Narain压实的系统研究。 我们回顾了参数化Narain模空间（即度量，B场和Wilson线）的广义vielbe
我们在最近的使用玻色化的3d对偶的派生上进行扩展。 我们将详细介绍一类普通的Abelian对偶。
通过将通常的（1 + 1）维非阿贝尔T对偶维扩展到（2 + 1）维，我们定义了粒子涡对偶性的非阿贝尔版本。 虽然我们将显式描述全局SU（2）对称性，但通过测量适当的子组，我们的方法也可以应用于更大的G
在本文中，我们计算了在N较大且Chern-Simons级别固定的情况下，多个N$$\mathcal{N}$$≥2Yang-Mills-Chern-Simons-物论的拓扑自由能。拓扑自由能定义为该理论
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